αναλογία

Στα μαθηματικά λέγεται ότι τέσσερις πραγματικοί αριθμοί, διατεταγμένοι και διάφοροι από το μηδέν, α, β, γ, δ είναι σε α. –και γράφεται α:β = γ:δ– εάν ο λόγος α/β είναι ίσος με τον λόγο γ/δ (π.χ. οι αριθμοί 2, 1, 4, 2 είναι σε α.). Αν οι αριθμοί α, β, γ, δ είναι σε α., τότε ισχύει αδ = βγ. Αν δοθούν οι διάφοροι του μηδενός αριθμοί α, β, γ ονομάζεται τέταρτος ανάλογος αυτών ο αριθμός x, o oποίος είναι τέτοιος, ώστε οι α, β, γ, x να είναι σε α. Πρέπει τότε να ισχύει: αx = βγ, επομένως x = βγ/α, δηλαδή στην περίπτωση που εξετάζεται εδώ, υπάρχει ακριβώς ένας τέταρτος ανάλογος των α, β, γ. Λέγεται, επιπλέον, ότι o x είναι μέσος ανάλογος των διάφορων του μηδενός α και β, αν οι τέσσερις αριθμοί α, x, x, β είναι σε α. Για να ισχύει αυτό, πρέπει να είναι αβ = x², συνεπώς, αν αβ > o, προκύπτει: x = ± √αβ. Από αυτό συνάγεται ότι, αν α, β είναι θετικοί αριθμοί, τότε υπάρχει ακριβώς ένας θετικός αριθμός, o οποίος είναι μέσος ανάλογος των α και β. Ανατρέχοντας στον Ευκλείδη, παρατηρούμε ότι η έννοια της α. στη γεωμετρία είχε προηγηθεί εκείνης της α. μεταξύ τετράδων πραγματικών αριθμών. Αν Α και Β είναι δύο ομογενή μεγέθη, π.χ. δύο ευθύγραμμα τμήματα ή δύο γωνίες, λέγεται ότι το Α είναι ν-πλάσιο του Β, όπου ν ακέραιος, θετικός αριθμός, αν το μέγεθος νΒ –που προκύπτει ως το άθροισμα ν όρων, καθένας των οποίων είναι ίσος με το B– είναι ίσο με το μέγεθος Α· γράφεται τότε Α = νΒ. Στην περίπτωση αυτή λέγεται επίσης ότι Β είναι το ένα νιοστό του Α και γράφεται: Β =(1/ν)Α. Κατόπιν αυτού δύο ομογενή μεγέθη Α και Β λέγονται σύμμετρα, εάν υπάρχουν δύο ακέραιοι θετικοί m και n έτσι ώστε το n-πλάσιο του Α να είναι ίσο με το m-πλάσιο του Β, δηλαδή αν είναι: nA = mB. Αν έτσι συμβαίνει, τότε o (θετικός ρητός) αριθμός m/n ονομάζεται το μέτρο του Α ως προς το Β. Ας είναι Α και Β δύο σύμμετρα ομογενή μεγέθη και Γ, Δ επίσης δύο σύμμετρα ομογενή μεγέθη (δεν είναι ανάγκη τα τέσσερα μεγέθη μαζί να είναι ομοειδή) λέγεται ότι τα τέσσερα μεγέθη Α, Β, Γ, Δ είναι σε αναλογία –και γράφεται Α:Β = Γ:Δ – εάν το μέτρο του Α ως προς το Β είναι ίσο με το μέτρο του Γ ως προς το Δ. Σημειώνουμε ότι, λόγω του ότι τα Α, Β υπερέβησαν σύμμετρα καθώς και τα Γ, Δ, πρέπει να ισχύουν: nΑ = mB και n’Γ = m’Δ για κατάλληλους θετικούς ακέραιους n,m,n’,m’, δηλαδή Α:Β = Γ:Δ σημαίνει: m:n = m’:n’. Ό,τι προηγήθηκε ισχύει για ζεύγη μεγεθών ομογενών, τα οποία είναι σύμμετρα· υπάρχουν όμως και ζεύγη μεγεθών ομογενών ασύμμετρων, όπως για παράδειγμα το ζεύγος που αποτελείται από την πλευρά και τη διαγώνια τυχόντος τετραγώνου. Για να δοθεί, λοιπόν, έννοια στη φράση «τα μεγέθη Α, Β, Γ, Δ είναι σε α.», στη γενική περίπτωση οι ήδη γενόμενες παρατηρήσεις δεν επαρκούν. Εξάλλου, o Ευκλείδης δεν μπορούσε να ανατρέξει στους πραγματικούς αριθμούς, που στην εποχή του μόλις και διαφαίνονταν. Ο Ευκλείδης πέτυχε να παρακάμψει το εμπόδιο με τον εξής ορισμό: τα μεγέθη Α, Β, Γ, Δ (Α, Β ομογενή, επίσης Γ, Δ ομογενή) είναι σε α., εάν, οπωσδήποτε και αν εκλεγούν οι ακέραιοι θετικοί m,n, η σχέση mA>nB είναι ισοδύναμη της mΓ > ηΔ, η mA=nB ισοδύναμη της mΓ=nΔ και η mA<nB ισοδύναμη της mΓ<nΔ, δηλαδή σύντομα, mA nB, εάν (και μόνο εάν) ισχύει αντίστοιχα mΓ nΔ.

* * *

η (Α ἀναλογία)

1. ορθή λογική σχέση

2. συμμετρική σχέση ανάμεσα σε δύο ποσά ή πράγματα που συγκρίνονται, αντιστοιχία, αρμονική σχέση, συμμετρία

3. η ομοιότητα από ορισμένη άποψη ανάμεσα σε δύο πράγματα, που ενδέχεται να διαφέρουν ουσιαστικά

4. Μαθ. η ισότητα δύο ή περισσότερων λόγων

5. Γλωσσ. το φαινόμενο τού μετασχηματισμού λέξεων ή τύπων από επίδραση άλλων

νεοελλ.

1. το μερίδιο που αντιστοιχεί στον καθένα (για κληρονομιά, έξοδα κ.ά.)

2. συμμετρική σχέση τών μερών ενός πράγματος, συμμετρία

3. στον πληθ. οι αναλογίες

οι διαστάσεις ενός ανθρώπου, η σωματική του διάπλαση, η αρμονική ή όχι σχέση που υπάρχει στα διάφορα μέρη τού σώματός του

4. φρ. «κατ' αναλογίαν», αναλογικά, σε αντιστοιχία, σε συμμετρική σχέση τού ενός προς το άλλο ή προς τα υπόλοιπα

αρχ.

φρ. «κατ' ἀναλογίαν», σε αντίθεση προς το «κατὰ διαφοράν».

[ΕΤΥΜΟΛ. < ἀνάλογος].